Ta có: BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)( CM bằng BĐT Shwars nha).Áp dụng ta có:

\(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{3a+2b+4c}\ge\frac{9}{9a+6b+12c}=\frac{3}{3a+2b+4c}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{3b+2c+4a}\ge\frac{9}{9b+6c+12a}=\frac{3}{3b+2c+4a}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{3c+2a+4b}\ge\frac{9}{9c+6a+12b}=\frac{3}{3c+2a+4b}\left(3\right)\)

Cộng (1),(2) và (3) có:

\(2\left(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5c}+\frac{1}{c+3a+5b}\right)+\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\ge3\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\)

\(\Rightarrow2VP\ge2VT\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Theo BĐT Bunyakovsky, ta có: \(\frac{7}{2a+b+c}=\frac{7^2}{7\left(2a+b+c\right)}=\frac{\left(2+1+4\right)^2}{2\left(a+3b\right)+\left(b+3c\right)+4\left(c+3a\right)}\)

\(\le\frac{2^2}{2\left(a+3b\right)}+\frac{1^2}{\left(b+3c\right)}+\frac{4^2}{4\left(c+3a\right)}\)

\(=\frac{2}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{4}{c+3a}\)(1)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{7}{2b+c+a}\le\frac{2}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}+\frac{4}{a+3b}\)(2); \(\frac{7}{2c+a+b}\le\frac{2}{c+3a}+\frac{1}{a+3b}+\frac{4}{b+3c}\)(3)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:

\(7\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\right)\le7\left(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\right)\)

hay \(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\ge\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\left(q.e.d\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Áp dụng bđt 1/a+1/b >= 4/a+b

Xét 1/a+3b + 1/b+2c+a >= 4/2a+4b+2c = 2/a+2b+c

Tương tự : 1/b+3c + 1/c+2a+b >= 4/2a+2b+4c = 2/a+b+2c

1/c+3a + 1/a+2b+c >= 4/4a+2b+2c = 2/2a+b+c

=> VT + VP >= 2VP

=> VT >= VP ( ĐPCM)

k mk nha

Chuyển vế và quy đồng, nó tương đương:

sigma(((754*a + 17*c)*(a + b - 2*c)^4)/1053 + ((416*a^2*b + 367*c^3)*(a - b)^2)/13 + (64*a^2*c*(a + b - 2*c)^2)/3 + (49*c*(a + b - c)^2*(a + b - 2*c)^2)/39) >=0

\(\Sigma\frac{\left(754a+17c\right)\left(a+b-2c\right)^4}{1053}+\Sigma\frac{\left(416a^2b+367c^3\right)\left(a-b\right)^2}{13}+\Sigma\frac{64a^2c\left(a+b-2c\right)^2}{3}+\Sigma\frac{49c\left(a+b-c\right)^2\left(a+b-2c\right)^2}{39}\ge0\)

PS: Dò lại xem giữa cái đoạn công thức toán và đoạn text của mình có lỗi gì không nhé. Đoạn text chắc chắn đúng rồi nhưng đoạn thức toán mình đánh có thể có sai sót.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}=\frac{z}{9}=\frac{x-y+z}{5-7+9}=\frac{315}{7}=45\)

  suy ra:   x/5 = 45   =>  x  =  225

               y/7 = 45  =>  y  =  315

               z/9 = 45  =>  z  =  405

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c};\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(VT=\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+3b}\)

\(\ge\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}=VP\)

thanks

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{b+c+c+a+c+a}=\frac{9}{3c+2a+b}\)

\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{a+c+a+b+a+b}=\frac{9}{3a+2b+c}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{a+b+b+c+b+c}=\frac{9}{3b+2c+a}\)

Cộng theo vế rồi rút gọn ta thu được

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\geq 3\left(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\right)\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

@Ace Legona bác giúp em với

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:

\(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{a+b+2c}\ge\dfrac{4}{2a+4b+2c}=\dfrac{2}{a+2b+c}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{2a+b+c}\ge\dfrac{2}{a+b+2c};\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{a+2b+c}\ge\dfrac{2}{2a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT=\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{a+3b}\)

\(\ge\dfrac{1}{a+b+2c}+\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}=VP\)

Ta CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},a+b\ge2\sqrt{ab}\)( co si với a,b>0)

Suy ra \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)

a/Áp dụng (1) có

\(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\left(2\right)\).Tương tự ta cũng có:

\(\frac{1}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\left(3\right),\frac{1}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\left(4\right)\)

Cộng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}.\left(6+6\right)=3\left(ĐPCM\right)\)

b/Áp dụng (1) có:

\(\frac{1}{3a+3b+2c}=\frac{1}{\left(a+b+2c\right)+2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\left(5\right)\)

Tương tự có: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)\left(6\right)\)

\(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\left(7\right)\)

Cộng (5),(6) và (7) có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\right)\le\frac{1}{4}.9=\frac{3}{2}\)

áp dụng  BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{a+3b+a+b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c}\)

\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)

Cộng các BĐt trên theo vế ta được:

\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\ge\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

giúp mình vs  CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)